層次分析技術(shù)又稱解析遞階過程法(AHP法），是美國數(shù)學(xué)家薩蒂教授(T. L. Saaty)于 1971年創(chuàng)立的旨在分析復(fù)雜層次結(jié)構(gòu)問題的數(shù)學(xué)分析法。層次分析的基本出發(fā)點(diǎn)在于利用系統(tǒng)的層次結(jié)構(gòu)模型，將復(fù)雜問題由高層次往低層次分解;再利用系統(tǒng)結(jié)構(gòu)關(guān)系，使 復(fù)雜的多目標(biāo)決策問題、多因素分析問題化解為有限的層次關(guān)系的組合體;再利用加權(quán)平均的原理及層級之間的隸屬關(guān)系求得各因素的權(quán)重系數(shù)，然后判定復(fù)雜問題的順序關(guān)系，從而給定決策方案。
層次分析技術(shù)在房地產(chǎn)項(xiàng)目控制分析中主要用于風(fēng)險(xiǎn)控制，用以判定一項(xiàng)目各類投資方案的優(yōu)劣、用以判定同類項(xiàng)目各擬建設(shè)地塊的優(yōu)劣等。以及用于項(xiàng)目成本控制中，分解導(dǎo)致項(xiàng)目投資成本超支的主要因素及其影響程度等。
層次分析技術(shù)的基本運(yùn)作程序?yàn)椋?/p>
（1）建立層次結(jié)構(gòu)模型；
（2）構(gòu)造各層級的判斷矩陣；
（3）進(jìn)行層次單排序(求解各判斷矩陣)；
（4）求解層級間組合權(quán)重系數(shù)(進(jìn)行層級間遞歸運(yùn)算）；
（5）完成優(yōu)先順序結(jié)構(gòu)。
第一節(jié)層次結(jié)構(gòu)模型
層次結(jié)構(gòu)模型是一種用框圖描述的說明不同層次因素間隸屬關(guān)系和遞階關(guān)系的模型。任何多目標(biāo)決策問題的決策目標(biāo)總可化解為若干層次的具體目標(biāo)或指標(biāo)。而且這些目標(biāo)或指標(biāo)間，又存在著一種內(nèi)在的遞屬關(guān)系。只要我們對問題的總目標(biāo)要求，所包含的具體要素及要素間的關(guān)系有所了解，就可以構(gòu)造出該問題的層次結(jié)構(gòu)模型。一般來講，一個(gè)典型的層次結(jié)構(gòu)由如下幾類層次構(gòu)成(詳見案例一中的圖1)。
1.目標(biāo)層
用較為籠統(tǒng)的詞匯描述的該決策分析的總目標(biāo)。如“適宜的廠址”、“較好的開發(fā)方案”、“合適的投資計(jì)劃”等。
2.準(zhǔn)則層
處于總體目標(biāo)之下，用以描述達(dá)到目標(biāo)的各項(xiàng)準(zhǔn)則、子目標(biāo)、要求等。又稱中間層、分目標(biāo)層、部門層、約束層等。一般是目標(biāo)的分項(xiàng)要求。如“適宜的廠址”可分解為：經(jīng)濟(jì)效益、環(huán)境效益、工程難易程度、征地拆遷難易程度等準(zhǔn)則或分目標(biāo)；“較好的開發(fā)方案”可分解為經(jīng)濟(jì)效益、社會效益、環(huán)境效益等。
3.指標(biāo)層
指標(biāo)層是指可具體化為定量或定性指標(biāo)要求的層面。如上述“經(jīng)濟(jì)效益”的準(zhǔn)則，便可分解為投資、成本、收入、稅費(fèi)、利潤等，指標(biāo)層有時(shí)按需要還可分解為若干層，越往下分應(yīng)當(dāng)越具體、越細(xì)致、越便于量化。如上述“成本”便可再分解為開發(fā)建設(shè)成本和運(yùn)營管理成本;上述“投資”也可按投資發(fā)生期，投資費(fèi)用性質(zhì)進(jìn)一步分層。
4.方案層
是層次模型的最低層，用于表明可供選擇的方案或需評價(jià)排序的方案。
第二節(jié)判斷矩陣
判斷矩陣是指由各分層元素按其對相鄰上層元素的重要性相互比較的結(jié)果。即由重要程度系數(shù)構(gòu)成的矩陣結(jié)構(gòu)，又稱同層次權(quán)重系數(shù)計(jì)算矩陣。是用來確定同層單權(quán)重系數(shù)的重要矩陣。
判斷矩陣是通過同層間元素重要性兩兩相對比較，用所謂強(qiáng)制標(biāo)定法所確定的。不過，這里問題復(fù)雜多了，評價(jià)重要性的尺度也不再像以前那樣簡單地定義為重要或不重要，而要分為若干級別。根據(jù)薩蒂教授的建議（1980年），將評價(jià)相對重要性的尺度劃分為如表4-1所示的9個(gè)等級。
表4-1同層次相對權(quán)重系數(shù)評價(jià)尺度表
對多目標(biāo)決策問題，建立起層次結(jié)構(gòu)模型后，便可依據(jù)表4 - 1所示的評價(jià)尺度，由下至上，就兩相鄰層次的有關(guān)因素，確定評價(jià)尺度，構(gòu)造其判斷矩陣。判斷矩陣的元素描述了下層因素對上層給定因素的相對重要程度（即兩兩比較的結(jié)果）。
顯然，對于一個(gè)擁有n個(gè)因素A1，A2，……An的同層元素的相互比較結(jié)果，將會建一個(gè)n Χn階的判斷矩陣，[A]=[aij]由于aii = 1，aij= 1/aji 。此矩陣實(shí)際上要依上述過程予以斷定的值，僅有n( n -1)/2個(gè)。矩陣主對角線上的元素值為1，矩陣右上方三角形以內(nèi)的元素?cái)?shù)值，均為其左下方相應(yīng)元素?cái)?shù)值的倒數(shù)。矩陣[A]的特征向量W的n個(gè)分量(W1，W2，……Wn)就是相應(yīng)同層n個(gè)因素的相對權(quán)重系數(shù)。該系數(shù)便描述了同一層各因素相對于上一層有關(guān)因素的優(yōu)先順序，又稱之為層次優(yōu)先函數(shù)。
第三節(jié)判斷矩陣的解（層間單排序）
設(shè)判斷矩陣為[a]，各因素的相對重要系數(shù)為Wij，則有關(guān)系式：
顯然，若aij之值判斷正確，則:
上式意味著，若i因素比k因素重要aik倍，k因素又比j因素重要aki倍，則i因素將比j 因素重要aik×akj倍。但事實(shí)上，由于在構(gòu)造判斷矩陣時(shí)，都是由各因素兩兩相互比較得出結(jié)論的，判斷上的誤差，勢必只能產(chǎn)生近似關(guān)系，aij≈ Wi/Wj，因而，就需要一定的數(shù)學(xué)方法，由判斷矩陣聚合為一組權(quán)重系數(shù)。
將上式兩邊同乘以特征向量[W]T，便有：
[a][ W]T= λmax[ W]T
即有關(guān)系式：
([a] -λmax [ i ]) ≈0
式中[i ]為單位矩陣，λmax為判斷矩降睢一非零的最大特征根，[ W]T為特征向量，即判斷矩陣各因素的權(quán)重系數(shù)。
因而，我們只要運(yùn)用線性代數(shù)的方法，求得判斷矩陣的特征向量及最大特征根即可。
但作為一種應(yīng)用技術(shù)，線性代數(shù)求解法未免過于復(fù)雜，從實(shí)用角度出發(fā)，不妨采用一些簡易的近似計(jì)算法。
1.最小誤差平方和法
如上所述，由于在構(gòu)造判斷矩陣時(shí)，相對重要程度判斷的誤差，使aij≈ Wi/Wj,因而，造成 了aij×Wj-Wi≠0。但我們可以選擇一組向量[W]T，使其誤差平方和為最小。即：
式中[W]T = [ W１，W２，…W„]T即權(quán)重系數(shù)。應(yīng)滿足下示歸一化及非零條件。
W >0( i = 1，2，… n )
對于上述優(yōu)化問題，可引入待定系數(shù)λ，按拉格朗日乘數(shù)法求解，其拉格朗日函數(shù)為：
由求極值的一般關(guān)系式：
得：
(L = 1，2，…n )
將上式全部寫出，是個(gè)如下所示的含n個(gè)Wi及1個(gè)λ變量的n + 1個(gè)線性方程組。
解此線性方程組，便可求得該判斷矩陣權(quán)重系數(shù)的惟一解。
