地鐵控制基標(biāo)的歸化改正原理和編程實現(xiàn)董偉東 秦長利（北京城建勘測設(shè)計研究院 100101）[摘要]介紹控制基標(biāo)在地鐵建設(shè)中的作用和測設(shè)步驟，總結(jié)鋪軌基標(biāo)歸化改正計算的理論依據(jù)和基本方法，建立了數(shù)學(xué)模型；同時在VB6.0環(huán)境下編程實現(xiàn)了歸化改正點位的自動判定和改正值的自動計算。最后給出編程原理、流程圖和工程實例。[關(guān)鍵詞] 地鐵 控制基標(biāo) 歸化改正1.鋪軌基標(biāo)在地鐵工程中的地位和作用 鋪軌基標(biāo)是高標(biāo)準(zhǔn)軌道混凝土整體道床的軌道鋪設(shè)控制點，精確地測設(shè)鋪軌基標(biāo)是保證軌道施工質(zhì)量的關(guān)鍵。近年來，我國迅速發(fā)展的地鐵、輕軌交通，對列車安全行駛的要求越來越高，這就對鋪軌精度提出了更嚴(yán)格要求，因此精確測設(shè)鋪軌基標(biāo)是保證地鐵軌道高精度施工的重要環(huán)節(jié)。 鋪軌基標(biāo)沿線路布設(shè)成導(dǎo)線形式，按精度等級可劃分為控制基標(biāo)和加密基標(biāo)，測設(shè)時先測設(shè)控制基標(biāo)，然后，利用控制基標(biāo)測設(shè)加密基標(biāo)。鋪軌基標(biāo)埋設(shè)位置有兩種，即位于線路中線或線路中線的一側(cè)。鋪軌基標(biāo)測量的實質(zhì)是按照設(shè)計線路和鋪軌綜合設(shè)計圖的要求，以一定的間隔，在線路中線或其一側(cè)測設(shè)具有精確平面坐標(biāo)和高程的標(biāo)志，作為鋪軌的平面和高程依據(jù)。2.控制基標(biāo)測設(shè)的一般步驟 控制基標(biāo)的三維坐標(biāo)在測設(shè)之前由測繪工程師根據(jù)鋪軌綜合設(shè)計圖計算得出，測設(shè)控制基標(biāo)大致分為三個步驟：（1）初測：按三維坐標(biāo)把控制基標(biāo)放樣到實地。（2）調(diào)線測量：以附合導(dǎo)線形式串測控制基標(biāo)，檢測相鄰控制基標(biāo)間的夾角與距離是否滿足規(guī)范限差要求。（3）歸化改正：根據(jù)調(diào)線測量成果計算控制基標(biāo)間各夾角與理論值的較差，如有超限，則對部分或全部控制基標(biāo)點位進(jìn)行歸化改正，使各控制基標(biāo)間的幾何關(guān)系滿足限差要求。控制基標(biāo)間高差關(guān)系一般好控制，在此不贅述。3.歸化改正的一般方法和存在的問題3．1一般方法：(1)坐標(biāo)法：根據(jù)調(diào)線測量平差結(jié)果，計算各控制基標(biāo)坐標(biāo)改正數(shù)（Vx，Vy），分別改正。(2)角度距離法：根據(jù)控制基標(biāo)串測導(dǎo)線的角度、距離偏差，沿線路垂直方向調(diào)整控制基標(biāo)點位，使相鄰控制基標(biāo)的夾角滿足限差要求。 上述方法中坐標(biāo)法能嚴(yán)格將點位改正到理論位置，但計算煩瑣，實地操作較困難，一般不被采用。而角度距離法在滿足施工需要的前提下，合理忽略距離偏差，重點考慮角度偏差，計算、操作相對簡單，在工程中得到普遍應(yīng)用。3．2存在問題： 通常進(jìn)行角度距離法歸化改正時，人為判斷和選取需改正的點位，憑借經(jīng)驗試探該點橫向改正值。由于在串測的導(dǎo)線上，一點的橫向改正會引起相臨兩點間夾角的變化，因此須反復(fù)試探調(diào)整各點改正值，才能滿足調(diào)線和歸化改正要求。此方法既無固定規(guī)律又不嚴(yán)密，效率又低，實踐經(jīng)驗不足的測量工作者很難掌握。4.歸化改正計算程序的編程思想和特點 筆者針對上述歸化改正中存在問題，在VB6.0下開發(fā)了控制基標(biāo)歸化改正計算程序，并在北京地鐵、伊朗德黑蘭地鐵控制基標(biāo)測量中得到了驗證和應(yīng)用。實踐表明，該程序計算結(jié)果完全能夠滿足現(xiàn)行規(guī)范精度要求，解決了長期困擾測量工作者的難題。4.1 編程思想：以角度距離法為出發(fā)點，總結(jié)點位橫向改正值與角度改正數(shù)的變動規(guī)律，建立較合理的數(shù)學(xué)模型，尋求簡潔實用的計算方法，實現(xiàn)歸化改正點位自動選取與對應(yīng)改正值的自動計算。4.2 特點 ：（1）計算快捷，直觀。（2）結(jié)果準(zhǔn)確，滿足施工精度要求。（3）參數(shù)可自由設(shè)置，靈活實用。剩余夾角改正數(shù)限差、點屬性[注1] 可由用戶設(shè)置，可強(qiáng)制調(diào)整指定點的改正值。不受線路形狀、基標(biāo)布設(shè)形式限制。5.歸化改正原理和數(shù)學(xué)模型 圖一是控制基標(biāo)以附合導(dǎo)線形式串測示意圖,附合導(dǎo)線點數(shù)為n+3，邊數(shù)為n+2，其中虛線表示控制基標(biāo)串測附合導(dǎo)線理論位置，實線表示平差后的附合導(dǎo)線。
圖一 控制基標(biāo)串測示意圖圖一中各符號的意義為：Pi：第i個導(dǎo)線點（控制基標(biāo)）的點名。Si：第i-1點到第i 點的距離(觀測值與理論值相差微小，以觀測值表示)。α0、αn：附合導(dǎo)線兩端的已知方位角。β’i：第i個控制點上的轉(zhuǎn)折角理論值；βi：第i個轉(zhuǎn)折角平差后的觀測值。ui：第i點沿線路法線方向的歸化改正數(shù)，含正負(fù)號。正值表示向觀測角一側(cè)改正。vi：轉(zhuǎn)折角改正數(shù)，vi =β’i -βi；5.1 歸化改正原理： 已知轉(zhuǎn)折角改正數(shù)vi（i=0，1，2…n）和觀測邊si（i =1，2…n），在Vi剩=0（Vi剩 為轉(zhuǎn)折角改正數(shù)殘差；i=0，1，2…n）或S (vi剩^2)=min(最小)的條件下，求各歸化改正數(shù)ui（i =0，1，2…n）。5．2數(shù)學(xué)模型的建立：為求得U，下面討論④式解的情況：考察④式的系數(shù)矩陣B的秩有：R（B）<=(n-1)<n+1,知B不可逆,方程④不是唯一解;當(dāng)R(B|U)=R(B),相容方程④有解，且有無窮多解。當(dāng)R(B|U)≠R(B),矛盾方程④無解。 針對以上兩種情形,為求得④式的最優(yōu)解，引入工程數(shù)學(xué)的“廣義逆”(g逆)概念。設(shè)B的廣義逆矩陣為B▔，最小范數(shù)g逆為Bm▔,最小二乘g逆為Bl▔;B的Moore-Penrose廣義逆為B 。則（1）當(dāng)R(B|U)=R(B)＜n+1時,相容方程④的最小范數(shù)解不唯一，它的一個解為 U=（1/ρ）Bm▔V ⑤此時，U結(jié)果唯一，且滿足 ||U||（U的范數(shù)）=最小。亦即橫向歸化改正值的平方和最小。 對于等邊導(dǎo)線，設(shè)S1=S2=…=Sn=S,q=1/S 則④式中的B可寫為: 可見,等邊導(dǎo)線歸化改正只有唯一解⑤’,它是⑤的特殊形式,同樣滿足||U||=最小。此時R（B）=R（B|U）=n-1。 此外等邊導(dǎo)線具有兩個重要規(guī)律：即滿足兩個公式（③和③’）。③’為等邊導(dǎo)線所特有，也可用于檢驗等邊導(dǎo)線觀測值是否含有粗差。③是所有導(dǎo)線具有的規(guī)律，歸化改正數(shù)的殘差向量也符合這一規(guī)律，所以③除能檢驗觀測值是否含有粗差外，還可以檢驗歸化改正結(jié)果是否正確。（2）當(dāng)R(B|U) ≠R(B)時,矛盾方程④無解，但可求最優(yōu)近似解，即最小二乘解（不唯一），其一個解為 U=（1/ρ）Bl▔V ⑥⑥可使方程④殘差向量的范數(shù)最小，即||ρBU||=最小。也就是附合導(dǎo)線的轉(zhuǎn)折角改正數(shù)的殘差向量的平方和為最小。綜合（1）、（2）兩種情況，即無論方程④有解或無解，均可得到最優(yōu)解，并可統(tǒng)一寫為下式： U=（1/ρ）B V ⑦ 在（1）的情形下，⑦是④的一個最小范數(shù)解；在（2）情形下，⑦是④唯一的最小二乘最小范數(shù)解。④、⑤、⑥三式或④、⑦二式即為控制基標(biāo)歸化改正的數(shù)學(xué)模型。 不論對于Bm-、Bl-還是B +，求解均有兩種基本方法：滿秩分解法、初等變換法。但精確解算十分繁瑣，編程較難實現(xiàn)。實際編程是將V的殘差向量（即轉(zhuǎn)折角剩余改正數(shù)）的所有分量歸化改正到滿足限差要求為止。實踐表明，該法可達(dá)到秒級精度要求。6.程序流程圖程序流程圖見圖二

圖二 程序流程圖6.工程實例 本例點數(shù)包括兩端4個固定點共16個，邊數(shù)包括兩條起算邊共15條。用程序按5”限差計算，其中，折角改正數(shù)由轉(zhuǎn)折角理論值減去觀測值得到。計算成果見表一。表一：歸化改正計算成果表7.結(jié)束語 該控制基標(biāo)歸化改正程序，經(jīng)過多年在北京、伊朗德黑蘭地鐵基標(biāo)測量工程中使用，不僅可滿足現(xiàn)行規(guī)范和施工要求，而且提高了工程效率和質(zhì)量。歸化改正程序必將在今后城市地下鐵道、輕軌交通工程的鋪軌基標(biāo)工作中發(fā)揮其應(yīng)有作用。同時，本歸化改正程序?qū)芫€形工程的高精度放樣,也有一定的實用和參考價值。[注1]點屬性：1表示固定點；0表示未知點（參與歸化改正計算）。[注2]變換方法為：從第1行起，后兩行加到前一行，依次類推到倒數(shù)第3行；再從倒數(shù)第2行起，每行加后邊一行，依次類推至第1行。參考文獻(xiàn)：[1] 秦長利。地鐵鋪軌基標(biāo)測量方法探討。鐵路航測，1999（3）[2]北京城建勘察測繪院.《地下鐵道、輕軌交通工程測量規(guī)范》（GB50308-1999）.中國計劃出版社, 2000年5月第一版[3] 陳永奇.《工程測量學(xué)》. 測繪出版社, 1995年5月第二版[4]於宗壽 魯林成。《測量平差》。測繪出版社,1983年6月第二版作者簡介：董偉東（1975-），男，北京城建勘測設(shè)計研究院工程師。Email：dwd2002@sohu.com