[摘要]基于有限變形理論，考慮結構幾何非線性，建立了考慮體系轉換及初始力影響的鋼管拱橋空間穩定分析方法及設計程序；對一座墩拱固結連續鋼管拱系桿拱橋進行了施工過程及成橋階段仿真計算，提出了各施工階段的空間穩定安全系數，探討了成橋階段吊桿、橋面系剛度、拱上橫撐、施工誤差等因素對穩定性的影響。
關鍵詞 系桿拱 穩定 非線性
一、引言
深圳市芙蓉大橋是一座三跨連續鋼管拱系桿拱橋，跨徑為 L＝ 55m＋ 80m＋ 55m，橋梁寬度為23.5米，已于2000年3月建成通車。該橋采用鋼管混凝土拱肋與橋墩固結，橋面結構采用縱向漂浮體系，由兩根T形縱梁及箱形橫梁組成，系桿為鋼絞線束，拱肋為啞鈴形，鋼管直徑為70cm，拱肋間邊孔設兩根根撐，中孔設三根橫撐，橋面對拱肋的約束作用相對較弱。在設計及施工過程中，如何考慮橋面及吊桿對拱肋的作用，施工過程中結構的體系轉換對拱肋空間穩定性的影響等是工程師們關注的重要問題。該橋用文獻【1】提供的近似方法進行計算，得出的拱肋穩定臨界荷載偏小【1】，而國外一般的幾何非線性分析軟件僅能將各施工階段作為獨立的結構采用特征值法進行計算，不能考慮各階段之間內力的傳遞與初始力影響。為此，本文基于有限變形理論，考慮結構幾何非線性，建立了一套能夠模擬施工及成橋階段受力的鋼管拱系桿拱橋彈性內力及空間穩定性分析方法和仿真程序，采用初始內力法考慮階段問體系轉換及彈性內力的傳遞，逐步加載進行各施工階段空間穩定性分析。模擬實際橋梁施工階段，計算分析了該橋各階段的穩定安全系數先穩特性；探討了成橋體系拱肋的穩定安全系數及其影響因素，為該橋的設計及施工提供了依據。
二、施工階段劃分與計算模型
采用空間梁系模擬實際結構，縱梁、橫梁組成梁格體系，拱肋根據鋼管混凝土換算截面離散成拱單元，豎向構件由吊桿、墩柱組成。基礎和土的共同作用按樁基等代法模擬，其力學模型如圖1所示。整個施工過程模擬按9個階段進行：
階段1：邊孔單側拱肋封拱腳，不計橫向風撐作用階段。
階段2：邊孔雙側拱肋有橫撐，中孔單側拱肋封拱腳無橫撐階段。
階段3：雙側鋼管及橫撐安裝就位，一側拱肋灌滿混凝土，另一側為空鋼管，但混凝土不參加受力。
階段4：混凝土鋼管共同作用，吊裝橫梁。
階段5：混凝土鋼管共同作用，吊裝縱梁。
階段6：縱、根參加作用，吊裝槽形板。
階段7：灌注濕接頭及 7cm厚板面混凝土。
階段8：縱、橫參加作用，鋪裝橋面。
階段9：橋面系參加作用，成橋運營。
各階段均考慮了拱肋的初始偏心，拱頂偏心值為 L／5000＋ 5mm，從拱頂至拱腳按半正弦曲線變化。
三、結構計算基本原理與程序實現
1．考慮初始力的U．L增量形式平衡方程
基本假定：結構在變形前、后的截面積和體積相同，大變形小應變，變形前垂直于中性軸的截面變形后仍為平截面[3]。
將時刻t視為外荷載°Pi作用下有初應力°σij的結構，其中°σij為當前階段由于體系轉換、預應力效應、吊桿張拉等在結構中的應力狀態。
由t至t＋Δt時刻，外荷載增量Pi，應力增量σij，應變增量εij，位移增量u；如圖2。
則t至t十Δt時刻過程中結構的總勢能增量為
將應力增量。對應變增量εij劃分為線性與非線性兩部分，即
將式（2）至式（4）代人式（1），略去 等高階項得：
由勢能駐值原理δπ＝0則U．L法描述的平衡方程為
式中
式（6）即為考慮初始力影響的三維連續體U．L列式的增量平衡方程。結構進行有限元離散，由左邊第一項即可得到彈性或彈塑性剛度矩陣，由第二項可得出幾何剛度矩陣，又稱初應力矩陣，右邊第一項為t＋Δt時刻外何載等效節點力向量，第二項為t時刻初應力引起的等效節點力向量。
2．空間梁元U．L增量平衡方程
由式（6）可得空間梁元U．L增量平衡方程：
其中
當梁處于彈性時，tKL即為單元彈性剛度矩陣：
此為單元幾何剛度矩陣，該剛陣有別于一般幾何非線性的剛陣，它考慮了初始力的影響力
為t＋Δt時等效節點力向量；
為初始力引起的不平衡修正力。
上述各式即為考慮幾何非線性的有限元方程，將單元局部坐標系下的各量進行轉換，即可得到整體坐標下結構的有限元幾何非線性基本方程。
3．計算方法及程序實現
式（6）以增量形成表示的計及初始不平衡效應的有限元公式可以表示為：
式中
從結構失穩的載荷位移關系曲線可以發現，隨著載荷的增加，結構的當前剛度參數也隨之而變化，所謂當前剛度參數，是指與當前剛度矩陣有關的能量和與起始剛度矩陣有關的能量之比，當前剛度參數可以定義為
這樣即形成了一種自動加載系統。
由式（8）可知，如果[KT]非奇異，則給定載荷增量參數Δλ，即可采用某種選代解法（本程序用修正的Newton～Raphson法）而求得增量位移{ΔQ}。然而在極值點附近，如繼續上述方法，將無法得到收斂的結果。為此在極值點附近一個選定的區域里終止選代，即認為結構已發生了極值點失穩。該區域的確定，可通過條件Sp≤εl來實現，式中，εl是根據問題的需要而選定的正實數，一般取εl≤0.1即可。
在計算中，可采用下述兩個原則來判定結構是否失穩：
（1）[KT]奇異，但此時Sp＞εl，此種情況多由幾何非線性所致，屬分叉型失穩。
(2)Sp≤εl，結構軟化，此種情況多由物理非線性和幾何非線性共同作用所致，屬極值點型失穩。
四、失穩特征判別及計算結果分析
1．失穩特征
結構失穩為空間失穩，其面內、面外均有位移。為了判別拱肋的失穩模態，將根據拱肋變形及拱頂荷載一位移曲線的關系區分拱肋是面內失穩和面外失穩。若拱頂的面內變形與荷載呈非線性，面外為線性，則判定為面內失穩，反之為面外失穩。圖3為階段1在自重及水平風力作用下的失穩模態及拱頂荷載位移曲線，圖4為階段9成橋狀態在使用荷載作用下的失穩模態及拱頂荷載位移曲線，由此可以得出在這兩個施工階段均為面外失穩，階段9計算結果還表明，結構失穩為邊孔及中孔拱肋均達到失穩狀態。表1給出了各階段的失穩特征。
2．各階段安全系數
拱肋穩定安全系數可以有兩種表達方式：
其一為 n=(p0+λp)/(p0+p1) （12）
其中，p0為初始荷載，p為加載模式的基本值，λ為加載因子，p1為可變荷載。
這種表達方式概念明確，適合一般荷載較為明確的結構分析。但由于橋梁結構初始力構成比較復雜，進行結構非線性加載時，僅有部分初始力作為增量荷載，很難用顯式P0表達所有的初始力，因此，拱肋穩定安全系數采用第二種表達方式：
n＝Ncr／N （13）
其中，Ncr為拱肋失穩軸力，N為該階段對應的使用荷載作用下的軸力。這種表達方法僅考慮了拱肋失穩時拱肋臨界軸力與使用荷載之比，能夠明確表示出初始力的影響，但忽略了其他因素的相互作用，本文采用第二種方法定義拱肋的穩定安全系數。各階段穩定安全系數如表1。
由表1可知，階段4，5橋面及吊桿對拱肋的約束作用尚未形成，只有鋼管混凝土拱肋支承，穩定安全系數較其他施工階段小；成橋階段考慮橋面板與縱、橫梁形成橋面系共同參加作用，穩定安全系數為6.9。對于啞鈴形截面，拱肋面外剛度偏小，結構失穩均表現為面外失穩。
五、結構體系選擇與穩定性的討論
連續鋼管拱橋采用拱肋與墩柱固結，各橫梁之間僅有兩根較弱的T形縱梁聯系且縱梁懸吊在拱腳處，整個橋面系的棧橋向約束較小。在此情況下，當供肋側傾失穩時，吊桿的非保向力效應及拱肋間的橫撐設置是設計及施工階段必須明確的問題。為此，本文基于前述
方法，對成橋階段的結構體系進行了討論，初步討論了以下六種結構體系情況：
1．橋面系整體參加工作，不計吊桿的"非保向力效應"，拱肋間設橫撐；
2．橋面系整體參加工作，不計吊桿的"非保向力效應"，拱肋間不設橫撐；
3．橋面僅考慮兩根縱梁參加工作，計入吊桿的"非保向力效應"，拱肋間設橫撐；
4．橋面僅考慮兩根縱梁參加工作，計入吊桿的"非保向力效應"，拱肋間不設橫撐；
5．橋面系整體參加工作，計入吊桿的"非保向力效應"，拱肋間設橫撐；
6．橋面系整體參加工作，計入吊桿的"非保向力效應"，拱肋間不設橫撐。
表2給出了上述各體系的穩定安全系數計算結果，根據橋面結構的實際情況，對縱梁進行有效的橫向約束，成橋工作狀態介于體系3與體系5之間，穩定安全系數為3.96～6.90，基本滿足規范要求；若取消拱肋間的橫撐，則成橋工作狀態介于體系4與體系6之間，穩定安全系數2.68～5.31，不能滿足規范要剎到，該橋拱肋間必須設置橫撐；若不計吊桿"非保向力效應"，拱肋的穩定安全系數僅有計吊桿"非保向力效應"的 28％～ 35％。由此可知吊桿作用、縱梁及橋面系剛度、拱肋間橫撐對系桿拱橋穩定性及體系選擇影響很大。
六、結束語
本文結合深圳市芙蓉大橋連續鋼管拱橋的設計和施工，建立了一套能夠模擬施工及成橋階段受力特征的鋼管拱系桿拱橋彈性內力及空間穩定性分析方法和仿真程序，分析了施工階段及成橋階段的空間穩定安全系數。實際上，由于結構體系在施工過程中不斷轉換及工作狀態的復雜性，結構的安全系數只能控制在一個范圍內，而不能是一個定值。結構體系的選擇應考慮施工過程及結構的實際工作狀態。本文提出的結論為大橋的設計及施工提供了科學依據，也可供同類型的橋梁參考。橋梁結構的失穩是極值點失穩，屬于極限承載力問題，但由于對鋼管混凝土的受力性能基礎研究的不足，對鋼管拱的彈塑性分析尚未達到實用階段，建議加強這方面研究。
參考文獻
【1】李國豪等．橋梁結構穩定與振動．北京：中國鐵道出版社，1992
【2】顧安邦，孫國柱．公路橋涵設計手冊，拱橋（下冊）．北京：人民交通出版社，1994
【3】龔堯南，王壽梅．結構分析中的非線性有限元素法．北京：北京航空學院出版社，1986
